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地图区域的边界点按不同方向走一圈，带符号面积会改变正负，但实际覆盖面积不会因此变成负数。用一个矩形挖去上边凹口的例子，可以同时核对边界公式和直观分块。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

坐标横向右、纵向上，八个顶点组成没有自交的凹多边形。按给定顺序将相邻点的横纵交叉乘积作差并求和，最后除二得到带符号面积；最后一点必须接回第一点。另比较倒序顶点。

八组外框上边带矩形凹口的独立边界，均包含闭合的最后一条边。

逐步计算与结果

第1组外框11×7，凹口宽2、深1，平移[2, 7]，顶点[[2, 7], [13, 7], [13, 14], [11, 14], [11, 13], [9, 13], [9, 14], [2, 14]]。逐边交叉差[-77, 91, 28, -11, 26, 9, 98, -14]，合计150，带符号面积75，倒序为-75，实际面积75。

第2组外框12×5，凹口宽2、深2，平移[-2, -2]，顶点[[-2, 3], [0, 3], [0, 1], [2, 1], [2, 3], [10, 3], [10, -2], [-2, -2]]。逐边交叉差[-6, 0, -2, 4, -24, -50, -24, -10]，合计-112，带符号面积-56，倒序为56，实际面积56。

第3组外框6×9，凹口宽3、深3，平移[7, -3]，顶点[[7, 6], [8, 6], [8, 3], [11, 3], [11, 6], [13, 6], [13, -3], [7, -3]]。逐边交叉差[-6, -24, -9, 33, -12, -117, -18, 63]，合计-90，带符号面积-45，倒序为45，实际面积45。

第4组外框14×11，凹口宽1、深1，平移[-4, -7]，顶点[[-4, -7], [10, -7], [10, 4], [2, 4], [2, 3], [1, 3], [1, 4], [-4, 4]]。逐边交叉差[98, 110, 32, -2, 3, 1, 20, 44]，合计306，带符号面积153，倒序为-153，实际面积153。

第5组外框11×6，凹口宽1、深3，平移[0, 8]，顶点[[0, 14], [4, 14], [4, 11], [5, 11], [5, 14], [11, 14], [11, 8], [0, 8]]。逐边交叉差[-56, -12, -11, 15, -84, -66, 88, 0]，合计-126，带符号面积-63，倒序为63，实际面积63。

第6组外框12×11，凹口宽4、深5，平移[7, 7]，顶点[[7, 7], [19, 7], [19, 18], [18, 18], [18, 13], [14, 13], [14, 18], [7, 18]]。逐边交叉差[-84, 209, 18, -90, 52, 70, 126, -77]，合计224，带符号面积112，倒序为-112，实际面积112。

第7组外框6×11，凹口宽2、深5，平移[-1, -5]，顶点[[-1, 6], [1, 6], [1, 1], [3, 1], [3, 6], [5, 6], [5, -5], [-1, -5]]。逐边交叉差[-12, -5, -2, 15, -12, -55, -30, -11]，合计-112，带符号面积-56，倒序为56，实际面积56。

第8组外框6×6，凹口宽3、深3，平移[-1, -1]，顶点[[-1, 5], [0, 5], [0, 2], [3, 2], [3, 5], [5, 5], [5, -1], [-1, -1]]。逐边交叉差[-5, 0, -6, 9, -10, -30, -6, -6]，合计-54，带符号面积-27，倒序为27，实际面积27。

逐组用外框减凹口核验绝对面积，正负只随绕行方向变化，平移不增加或减少覆盖。

怎样独立复核

不使用边界求和，直接用外矩形面积减去凹口矩形面积，应该等于带符号面积绝对值。倒序只改变符号，平移全部点不改变面积；这些是本例的独立交叉检查。

很多图像坐标的纵轴向下，视觉顺逆时针的解释会反过来，应先说明坐标约定。自交边界需要额外定义填充规则，不能直接拿这里的绝对值当作任何复杂路径的覆盖面积。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。